솔직하게 적으면 손해일까: 어린이집 배정 방식 네 가지
아이를 기관에 나누는 일이라면, 원하는 순서를 있는 그대로 적어 내는 것이 가장 좋을 것 같습니다. 그런데 어떤 방식에서는 "될 만한 곳"을 앞에 적는 쪽이 이득이어서, 목록이 마음의 순서가 아니라 눈치 싸움이 됩니다. 같은 아이 200명을 네 가지 방식으로 나눠 보면, 보스턴 방식에서는 순위를 바꿔 적어 더 나은 곳에 가는 아이가 43%였고 지연 수락 방식에서는 0%였습니다. 누가 나쁜 것이 아니라 방식의 구조가 만드는 차이입니다.
모델은 이렇게 움직입니다
- 아이 200명과 기관 8곳(A~H)이 있고, 기관마다 정원이 있습니다. 모든 아이는 8곳 모두에 지망 순위를 매깁니다. 기관에는 모두가 느끼는 "인기"가 있고 아이마다 취향도 다릅니다. 취향이 비슷한 정도는 이 둘의 비중입니다. 높을수록 모두가 같은 곳을 원해 경쟁이 몰립니다.
- 기관은 아이들에게 우선순위를 매깁니다. 추첨 번호는 모든 기관이 같이 쓰고, 기관마다 따로 정한 순번을 얼마나 섞느냐가 기관마다 순번이 다른 정도입니다. 0%이면 모든 기관이 같은 추첨 번호로 줄을 세웁니다.
- ① 선착순: 접수한 순서대로 남은 곳 중 가장 원하는 곳을 고릅니다(일찍 접수할 수 있는 집이 앞섭니다). ② 추첨 순번: 추첨 번호 순서대로 같은 방식으로 고릅니다. ③ 보스턴: 모두 1지망에 접수하고 정원이 차면 그 자리는 바로 확정, 못 들어간 아이는 2지망에 접수하는 식으로 이어집니다. ④ 지연 수락: 각 기관은 우선순위가 높은 아이를 임시로만 받아 두고, 더 높은 아이가 오면 밀어냅니다. 밀려난 아이는 다음 지망으로 가고, 더 움직일 아이가 없을 때 확정됩니다.
- 순위를 바꿔 적어 보는 시험: 한 아이만 지망 순서를 바꿔 적고 다른 아이는 모두 솔직하게 적었다고 합시다. 지망 하나를 다른 자리로 옮기는 56가지를 모두 해 보고, 진짜 원하는 순서로 봐서 더 좋은 곳에 가는 경우가 하나라도 있으면 그 아이는 "이득"을 봅니다. 다른 집의 목록과 추첨 결과를 모두 안다는 가정이라, 현실에서는 이만큼 알기 어렵습니다.
직접 돌려보기
① 배정 지켜보기
왼쪽은 아직 자리를 못 받은 아이들입니다(파란 점은 일찍 접수할 수 있는 집). 오른쪽은 인기 순서대로 A~H 기관의 자리이고, 색은 아이가 받은 지망입니다. 검은 동그라미는 아래에서 시험해 보는 아이입니다. 위에서 배정 방식을 바꿔 같은 아이들을 다른 방식으로 나눠 보세요.
② 네 방식, 아이들은 어디로 갔나
같은 아이들, 같은 솔직한 목록으로 네 방식을 돌린 결과를 받은 지망별로 쌓았습니다. 굵은 이름은 지금 고른 방식입니다. 이 수치는 모두가 솔직하게 적었을 때의 것입니다.
③ 순위를 바꿔 적으면 이득을 볼까
아이 60명을 한 명씩 골라, 그 아이만 지망 순서를 바꿔 쓰는 56가지를 모두 시험했습니다. 막대는 그중 솔직할 때보다 더 원하는 곳에 가는 방법이 하나라도 있었던 아이의 비율입니다.
④ 언제 솔직함이 손해가 될까
가로는 아이들의 취향이 비슷한 정도(다른 설정은 지금 값 그대로), 세로는 보스턴에서 순위를 바꿔 적어 이득을 보는 아이의 비율입니다. 각 점은 서로 다른 아이들 3벌의 평균입니다. 모두가 같은 곳을 원할수록 눈치를 볼 이유가 커집니다. 초록 점선은 나머지 세 방식의 0%입니다.
이 결과가 말하는 것, 말하지 않는 것
말하는 것:
- 보스턴 방식에선 솔직하게 적으면 손해일 수 있고, 지연 수락을 포함한 나머지 세 방식에선 솔직해도 손해가 없었어요.
- 보스턴은 1지망에서 정원이 차면 바로 확정이라 될 만한 곳을 앞에 적는 아이가 이득이에요. 모두 같은 곳을 원할수록 커져서, 취향이 제각각이면 6%, 90% 비슷하면 70%였어요.
- 그렇다면 배정 방식은 무엇을 먼저 볼까? 이 모델에선 지연 수락만 억울한 아이가 0%였어요(보스턴 33%, 선착순 62%). 대신 1지망 비율은 27%로 보스턴(48%)보다 낮았어요.
상세 설명
말하는 것: 아이 200명, 기관 8곳(정원 25명씩), 취향 비슷한 정도 60%, 기관마다 순번이 다른 정도 50%, 먼저 접수 25%, 시드 1에서 솔직하게 적었을 때 1지망을 받은 아이는 선착순 28%, 추첨 순번 29%, 보스턴 43%, 지연 수락 23%였고 평균 지망은 3.02, 3.06, 2.83, 3.28이었습니다. 나보다 순번이 낮은 아이가 내가 더 원한 곳에 들어간 "억울한 아이"는 72%, 65%, 35%, 0%였습니다(지연 수락은 정의상 0). 순위를 바꿔 적으면 이득을 보는 아이는 아이 60명 표본에서 보스턴 43%(26명)였고 나머지 세 방식은 0%였습니다. 시드 1~12 평균으로는 보스턴 34.3%였고, 이득을 볼 때 평균 3.0지망 더 좋은 곳으로 갔습니다. 취향이 비슷한 정도가 0%이면 6%, 30%이면 16%, 60%이면 36%, 90%이면 70%로 올랐습니다(시드 1~3 평균). 정원이 아이 수의 80%이면 46%, 120%이면 27%였습니다. 일찍 접수할 수 있는 집은 선착순에서 나머지 집보다 평균 2.6지망(시드 1~12 평균) 더 좋은 곳에 갔고, 다른 방식에서는 0.1지망 안팎이었습니다. 보스턴은 모두가 솔직할 때 1지망 비율이 가장 높았지만, 그 숫자는 모두가 솔직하다는 가정에서만 성립합니다.
말하지 않는 것:
- 실제 어린이집·유치원 입소 제도를 재현한 게 아니고, 가산점·형제 우선 같은 실제 규칙과 숫자는 이 모델에 없어요. 어느 방식이 옳다는 뜻도 아니에요.
- 이득 보는 아이 비율은 남들의 목록을 다 안다고 가정한 시험이라 현실에서는 더 작을 수 있어요. 실제 판단은 해당 기관이나 지자체 안내를 따르세요.
상세 설명
말하지 않는 것: 실제 어린이집·유치원의 입소 제도를 설명하거나 재현한 것이 아닙니다. 실제 제도에는 가산점, 형제 우선, 지원 가능한 곳 수 제한, 대기 순번처럼 이 모델에 없는 규칙이 많고 지역과 해마다 다릅니다. 아이 수, 정원, 취향은 모두 이 프로젝트가 정한 예시 값입니다. 어느 방식이 옳다거나 어떻게 적어 내라는 뜻이 아니고, 어느 가정도 비난하지 않습니다. 이 시험은 다른 집의 목록과 추첨 결과를 안다고 가정한 것이라 현실의 이득은 이보다 작을 수 있고, 한 아이만 바꿀 때를 본 것이어서 모두가 전략적으로 적은 결과는 계산하지 않았습니다. 참고용 모델이며 실제 판단은 해당 기관이나 지자체의 안내, 교사 같은 전문가와 함께 하세요.
이론적 근거와 구현 메모
- 모델의 뿌리: Gale & Shapley (1962), "College Admissions and the Stability of Marriage"(American Mathematical Monthly)가 지연 수락 방식을 만들었고, Abdulkadiroğlu & Sönmez (2003), "School Choice: A Mechanism Design Approach"(American Economic Review 93(3))가 이를 학교 배정에 적용해 보스턴 방식과 비교했습니다. 요지는 보스턴 방식에서는 솔직하게 쓰는 것이 늘 최선이 아니지만, 지연 수락 방식에서는 솔직하게 쓰는 것이 최선이라는 것입니다.
- 핵심 가정과 수식: 아이의 선호는
Uij = c·qj + (1−c)·eij(qj는 모두가 느끼는 기관의 인기, eij는 아이별 취향, 둘 다 표준정규분포)의 순서입니다. 기관의 우선순위 점수는sij = (1−ρ)·ui + ρ·vij(ui는 모든 기관 공통 추첨 번호, vij는 기관별 무작위)이고 점수가 높은 아이가 앞섭니다. 슬라이더 c가 취향이 비슷한 정도, ρ가 기관마다 순번이 다른 정도입니다. - 이 프로젝트의 단순화: 모든 아이가 8곳 전부를 순서대로 적고, 우선순위는 추첨 번호뿐입니다(가산점, 형제 우선, 거주지는 없음). 취향 분포, 정원, 아이 수, 일찍 접수할 수 있는 집의 비율은 이 프로젝트가 정한 값입니다. 바꿔 적기 시험은 지망 하나를 옮기는 56가지만 해 보므로, 다른 바꿔 적기가 더 나을 가능성은 남습니다.
- 이론값과 시뮬레이션: 모두 같은 취향(c=100%)이고 정원이 아이 수와 같을 때 닫힌 식으로는 어느 방식이나 각 지망에 1/8씩 가므로 평균 4.50지망, 1지망 12.5%인데, 네 방식 모두 정확히 4.50과 12.5%였습니다. 기관 순번이 모두 같으면(ρ=0) 지연 수락과 추첨 순번 결과는 이론상 같고 시드 30개에서 30개가 모두 일치했습니다. 지연 수락의 억울한 아이는 12개 시드에서 모두 0이었고, 솔직하지 않게 적어 이득을 본 아이는 선착순·추첨 순번·지연 수락에서 0%, 보스턴에서 34.3%(시드 1~12 평균)였습니다. 애니메이션의 마지막 장면은 40번의 비교에서 모두 실제 배정과 같았습니다.
- 더 읽을거리: Gale & Shapley (1962), American Mathematical Monthly 69 / Abdulkadiroğlu & Sönmez (2003), American Economic Review 93(3) / Roth (1982), "The Economics of Matching: Stability and Incentives", Mathematics of Operations Research.
- 검증은
node tools/validate-admission.js로 할 수 있습니다. 시뮬레이션은 시드 난수(mulberry32)를 쓰고 같은 시드면 같은 결과가 나옵니다. - 억울한 아이는 "더 원하는 기관에 자리가 남았거나, 그 기관에 들어간 아이 중 나보다 그 기관의 우선순위 점수가 낮은 아이가 있는" 아이입니다. 바꿔 적기 시험은 처음 60명의 아이를 표본으로 하고, 아이들의 번호는 무작위로 섞인 것이라 표본이 치우치지 않습니다. 미배정 아이는 평균 지망을 셀 때 제외하고, 접수 시기별 이득을 셀 때는 9지망으로 칩니다.