상대가 늘리니 나도 늘린다, 군비 경쟁은 어디서 멈출까?
상대가 무기를 늘리면 불안해서 나도 늘리고, 그걸 본 상대가 또 늘립니다. 그러면 끝없이 올라갈 것 같지요. 또 한쪽이 먼저 크게 줄이면 멈출 것 같고요. 그런데 이름 없는 가상의 두 나라로 돌려 보면, 폭주할지 멈출지는 생각과 다른 곳에서 갈립니다. 한쪽이 아무리 강경해도 멈출 때가 있고, 한쪽이 크게 줄여도 늦춰질 뿐일 때가 있어요.
모델은 이렇게 움직입니다
- 가상의 두 나라 A와 B가 해마다 군비(처음 둘 다 10인 지수)를 정합니다. 해마다 바뀌는 양은 세 가지를 더한 것이에요. ① 상대를 따라 늘리기: 상대 군비의 몇 %(반응). ② 부담에 지쳐 줄이기: 자기 군비의 몇 %(돈·사람이 드는 부담). ③ 서로에 대한 불만: 상대와 상관없이 해마다 더하는 양(0보다 작으면 서로 믿는 마음, 호의). 여기에 해마다 작은 사건(±1.5 안의 무작위 흔들림)이 더해지고, 군비는 0 아래로 내려가지 않아요.
- 어느 쪽이든 군비가 과열선 100(이 프로젝트가 정한 기준선)을 넘으면 "폭주"로 셉니다. 200을 넘으면 그래프 밖이라 그 판을 끝내고, 아니면 60년을 돌려요. 계산으로 보면 두 나라 반응의 곱이 부담의 제곱보다 크면 서로를 키우며 끝없이 커지고, 작으면 한 수준에서 멈춥니다. 멈추는 수준은 불만이 클수록 높아요.
- 10년째에 하는 합의를 고를 수 있어요. "둘 다 반응을 절반으로"는 서로 확인할 수 있는(검증 가능한) 합의로, 두 나라 모두 상대를 따라 늘리는 정도를 절반으로 줄여 그대로 지킨다고 가정합니다. "A만 반응을 절반으로"는 한쪽만 그렇게 하고, "A만 군비를 절반으로 감축"은 A가 그해 군비를 한 번 절반으로 줄이되 반응은 그대로 둡니다. "같은 설정, 다른 사건"은 해마다의 작은 사건만 바꿉니다.
직접 돌려보기
① 국경을 사이에 둔 두 기지: 차량이 국경으로 다가온다 3D
왼쪽이 A국, 오른쪽이 B국 기지예요. 연병장에 늘어선 차량·미사일 발사대·전투기 1대가 군비 1이라, 군비가 늘수록 줄이 뒤에서부터 국경 쪽으로 다가옵니다. 연병장의 빨간 선이 과열선 100이에요. 군비가 100을 넘은 나라는 경보등이 돌고 붉은 파문이 퍼집니다. 앞쪽 금괴 더미는 같은 군비를 예산으로 본 것이고, 10년째 합의를 고르면 국경 한가운데 협상 천막이 섭니다. 뒤쪽 홀로그램은 ③과 같은 지도(가로 A, 세로 B)로, 흰 선이 지나온 길이에요.
아래 그래프와 같은 결과를 두 기지로 그린 것이고, 3D에서 새로 계산하는 숫자는 없어요. 차량·발사대·전투기 1대가 군비 1이고(종류는 보기 좋게 3 : 1 : 1로 섞었을 뿐), 금괴 1개는 군비 4예요. 경보등·파문·레이더·깃발의 움직임은 지금 상태를 보여 주는 꾸밈입니다. 홀로그램은 ③과 같은 지도예요. 드래그로 돌려 보기 · 휠이나 두 손가락으로 확대 · 휴대폰에서 세로로 쓸면 페이지가 내려갑니다.
② 두 나라 군비는 시간에 따라 어떻게 움직였나
재생이 지난 시점까지만 그립니다. 빨간 점선이 과열선 100, 초록 점선은 계산상 멈추는 수준(반응이 부담에 비해 작을 때만 있어요)입니다. 합의를 고르면 10년째에 회색 세로선이 생겨요.
③ 두 나라를 한 점으로: 멈출 자리가 있나
가로는 A, 세로는 B의 군비예요(3D 뒤쪽 홀로그램과 같은 지도). 파란 선 위에서는 A가, 주황 선 위에서는 B가 더 늘리지도 줄이지도 않아요. 두 선이 만나는 곳(초록 동그라미)이 있으면 점은 거기로 끌려가 멈추고, 없으면 두 선 사이를 따라 바깥으로 달아납니다. 재생이 지난 시점까지만 그립니다.
④ 두 나라의 반응 지도 (집계: 미리 돌린 441판)
A와 B가 상대를 따라 늘리는 정도를 0%~40%로 2%씩 바꿔 한 판씩 돌린 결과예요(지금의 부담·불만·격차, 합의 없음, 사건 #1). 빨간 칸은 60년 안에 과열선을 넘은 판, 초록 칸은 넘지 않은 판입니다. 검은 곡선은 계산상 경계(두 반응의 곱 = 부담의 제곱)예요. 곡선이 쌍곡선이라, 한쪽 반응이 아주 작으면 다른 쪽이 커도 초록에 머물러요. 재생과 상관없는 집계입니다.
⑤ 어떤 합의가 경쟁을 멈췄나 (집계: 지금 설정으로 400판)
지금 슬라이더 설정에서 10년째 합의 네 가지를 사건 100가지씩 돌려, 60년 안에 과열선을 넘은 판의 비율을 비교했어요. 막대 위 작은 글씨는 넘은 판의 보통 해(중앙값) 또는 멈춘 판의 마지막 10년 합계 평균입니다. 지금 고른 합의는 진하게 보여요. 재생과 상관없는 집계입니다.
이 결과가 말하는 것, 말하지 않는 것
말하는 것:
- 두 나라가 서로를 크게 따라 하면 군비가 끝없이 폭주하고, 부담에 지치는 힘이 더 크면 한 수준에서 멈춰요. 기본 설정은 100판 모두 보통 20년째에 과열선을 넘었어요.
- 갈림길은 두 나라 반응의 곱이에요. 그래서 A가 40%로 아주 강경해도 B가 3% 이하로 거의 따라 하지 않으면 멈췄고, B가 6%만 돼도 모든 판이 폭주했어요.
- 처음 격차는 결과를 못 바꿨어요. A 20·B 0으로 시작해도 5년 만에 20·18로 비슷해졌고, 과열선을 넘는 해도 격차가 없을 때와 같았어요.
- 그렇다면 어떻게 멈출까? 이 모델에선 A만 군비를 한 번 줄이면 2년(22년째), A만 반응을 줄이면 11년(31년째) 늦췄을 뿐이고, 둘 다 반응을 절반으로 줄인 합의만 모든 판을 합계 약 69에서 멈췄어요.
상세 설명
말하는 것: 기본 설정(두 나라 모두 상대 군비의 24%만큼 따라 늘리고, 부담으로 15%씩 줄이고, 불만 +1)에서는 사건 100가지 모두 과열선 100을 넘었고, 보통 20년째였습니다(사건 #1은 21년째). 10년째 합의를 바꿔 보면, A만 군비를 한 번 절반으로 줄이면 22년째로 2년, A만 반응을 절반으로 줄이면 31년째로 11년 늦춰졌을 뿐 모두 넘었고, 둘 다 반응을 절반으로 줄이면 한 판도 넘지 않고 두 나라 합계 약 69에서 멈췄습니다(계산상 67). 갈림길은 두 반응의 곱과 부담의 제곱입니다. A가 40%로 아주 강경해도 B가 3% 이하면 멈췄고(B 0%: 합계 약 31, 3%: 약 65), B가 5%면 40%, 6%면 100%의 판이 넘었습니다. 처음 격차는 결과를 바꾸지 못했어요. A 20·B 0으로 시작해도 반응 24%에서는 5년 만에 20·18로 비슷해졌고 과열선을 넘는 해도 격차 0과 같았습니다. 부담을 25% 이상으로 올리면 넘는 판이 없었고(30%면 합계 약 33), 반응이 커도 서로 믿는 마음이 있으면(불만 −2) 군비가 0으로 줄었습니다. 불만 −1에서는 15%의 판만 넘었어요. 441판의 반응 지도에서 435판이 계산상 경계와 같은 쪽에 있었고, 다른 6판은 경계 바로 옆이라 해마다 1% 안팎으로 아주 천천히 움직이는 판이었습니다.
말하지 않는 것:
- 이름 없는 가상의 두 나라로 만든 장난감 모델이에요. 실제 어느 나라의 군비나 분쟁을 설명·예측하지 않고, 어떤 정책이나 어느 편이 옳다고 말하지 않아요. 과열선 100과 숫자는 모두 이 모델의 예시예요.
- 합의는 '서로 확인할 수 있고 그대로 지켜진다'고 가정했어요. 속이기·의심·국내 정치·기술 변화·동맹은 빠져 있어서, 실제 합의가 이렇게 지켜질지는 이 시뮬레이션이 보여 준 게 아니에요.
- 군비가 커지면 전쟁이 난다는 것도 이 모델엔 없어요. 군비가 어떻게 오르내리는지의 구조만 보여 줘요.
상세 설명
말하지 않는 것: 이 실험은 이름 없는 가상의 두 나라로 만든 장난감 모델이며, 실제 어느 나라의 군비나 분쟁을 설명하거나 예측하지 않고, 어떤 정책이나 어느 편이 옳다고 말하지 않습니다. 합의는 "서로 확인할 수 있고 그대로 지켜진다"고 가정했어요. 속이기·의심, 국내 정치, 기술 변화, 동맹, 경제 규모의 차이는 없고, 군비가 커지면 전쟁이 난다는 것도 이 모델에는 없습니다. 과열선 100과 모든 숫자는 이 모델의 예시예요.
이론적 근거와 구현 메모
- 모델의 뿌리: 영국의 기상학자이자 평화 연구자 루이스 프라이 리처드슨이 두 나라의 군비가 서로에게 반응하는 모습을 "상대를 따라 늘리는 항, 자기 부담으로 줄이는 항, 불만 항"의 연립 미분방정식으로 쓴 것이 리처드슨 군비 경쟁 모델로 알려져 있어요. 두 반응 계수의 곱이 두 부담 계수의 곱보다 크면 군비가 끝없이 커지고, 작으면 한 수준에서 멈춘다는 조건이 이 모델의 핵심입니다. 이 페이지는 그 생각을 1년 단위로 돌려 보는 단순한 장난감 모델이에요.
- 핵심 가정과 수식:
x' = x + kA·y − a·x + g + ε,y' = y + kB·x − a·y + g + ε(군비는 0 아래로 안 내려감,ε는 ±1.5 안의 고른 무작위). 원래 리처드슨 모델은 두 나라의 부담 계수를 따로 두지만(k·k' < a·a'), 여기서는 같은a를 써서 조건이kA·kB < a²가 됩니다. 1년 단위 행렬[[1−a, kA], [kB, 1−a]]의 고윳값이1 − a ± √(kAkB)라, 이 범위에서는 이산 시간에서도 같은 조건이에요. 멈추는 수준은x* = g(a + kA)/(a² − kAkB),y* = g(a + kB)/(a² − kAkB)이고, 커지는 쪽이면 해마다 약√(kAkB) − a씩 커집니다(기본값 9%). - 이 프로젝트의 단순화: 두 나라의 부담 계수를 하나로 묶었고, 계수는 해마다 그대로입니다(합의 때만 바뀜). 사건은 작은 고른 무작위 흔들림 하나로 줄였어요. 합의는 10년째 한 번, 즉시·완전히 지켜지고 서로 확인할 수 있다고 가정했습니다. 과열선 100, 그래프 끝 200, 처음 군비 10은 이 프로젝트가 정한 값이에요. 실제 나라의 경제 규모, 기술, 동맹, 국내 정치, 속이기는 없습니다.
- 이론값과 시뮬레이션: 검증(
node tools/validate-armsrace.js, 시드 고정): 사건을 끄면(잡음 0) 2,000년 뒤 군비가 계산값과 소수 셋째 자리까지 같았습니다(반응 10%·10% → 20.000·20.000, 5%·20% → 16.000·28.000, 12%·12% → 33.333·33.333). 둘 다 반응을 절반으로 줄인 합의의 계산상 합계는 67, 시뮬레이션은 약 69였어요(사건 때문에 조금 높음). 반응 지도 441판 중 435판이 계산상 경계(곱 = 부담²)와 같은 쪽이었고, 다른 6판은 경계 바로 옆에서 해마다 ±1% 안으로만 움직여 60년 안에 판정이 갈리지 않은 판이었습니다. 이산 시간의 작은 고윳값은 이 범위에서 늘 −1보다 커서, 진동하며 폭주하는 경우는 없어요. - 더 읽을거리: Richardson, L. F. (1960), 『Arms and Insecurity』.
- 이 프로젝트가 직접 설계한 장난감 모델이며 실제 나라·사건·통계를 쓰지 않았습니다. "전쟁" 실험의 군비 경쟁 단계를 두 나라가 서로 다른 반응을 가질 수 있게 넓히고 합의를 더한 것이에요. ① 3D는 아래 그래프와 같은 계산 결과를 그대로 그리며, 한 걸음 전과 지금 사이를 이어 그려 부드럽게 보일 뿐 결과에 영향이 없습니다. ④⑤는 지금 슬라이더 설정으로 미리 돌린 집계라 재생과 상관없습니다(④는 반응 두 개만 바꾸고, ⑤는 합의만 바꿉니다).