농사는 어떻게 대륙을 건넜을까: 한 해에 1킬로미터씩 번진 농경

농사가 번지는 속도는 걸음에 비하면 보잘것없습니다. 한 세대(약 25년)에 25킬로미터 남짓이니까요. 그런데 이 느린 걸음이 쉬지 않고 이어지면, 이 모델에서는 약 천 년 만에 지도 전체가 농지로 덮입니다. 더 이상한 것은 그 속도를 누가 정해 준 적이 없다는 점입니다. '늘어나는 속도'와 '흩어지는 정도' 두 숫자만 있으면 속도가 저절로 정해진다는데, 정말 그럴까요? 직접 두 값을 바꿔 보세요.

모델은 이렇게 움직입니다

지도는 10km 칸으로 나뉘어 있고, 칸마다 농부 밀도(땅이 감당하는 최대치를 1로)와 수렵채집민 밀도(처음에는 어디나 0.25)가 있습니다. 한 곳(왼쪽 가운데 '기원지')에서만 농부가 시작합니다.
농부는 두 가지로 움직입니다. 한 칸 안에서 늘어나고(성장률 r, 가득 차면 멈춤), 이웃 칸으로 조금씩 흩어집니다(확산 계수 D). 두 값이 같이 정하는 속도가 전선의 속도입니다.
수렵채집민은 제자리에 머뭅니다. 농부가 많아질수록 그 칸의 수렵채집민이 줄어드는데, 줄어든 몫 가운데 섞이는 비율만큼은 농부가 되고(동화), 나머지는 밀려나 사라집니다(대체).
땅은 칸마다 기름짐이 조금씩 다릅니다(최대 ±25%). 해협은 땅다리 하나만 남기고 바다로 막고, 산맥은 성장과 확산이 느린 띠입니다. 지도의 색은 농부가 처음 들어선 시각이고, 100년마다 띠가 바뀝니다.

직접 돌려보기

인구 증가율 (r) 클수록 인구가 빨리 늘어요. 연 2.5%면 약 28년마다 두 배

흩어지는 정도 (D) 클수록 이웃으로 더 넓게 퍼져요 (제곱킬로미터 / 년)

토착민과 섞이는 비율 0%면 토착민은 밀려나고, 100%면 모두 농부가 돼요

지형 장벽 장벽을 켜면 전선이 돌아가거나 천천히 넘어가는 것을 볼 수 있어요

① 번져 가는 농경

별표가 농경의 시작점입니다. 색은 그 땅에 농부가 처음 들어선 시각(기원지를 떠난 뒤 지난 햇수)이고, 띠 사이의 짙은 선이 곧 등고선입니다. 선이 촘촘하면 빠르게 지나간 곳이 아니라 오히려 느리게 지나간 곳이에요.

지도 보기 농부들이 이주민의 후손인지 토착민의 후손인지 바꿔 볼 수 있어요.

② 전선은 얼마나 멀리 갔을까

파란 선은 기원지에서 가장 멀리 간 농부까지의 거리입니다. 초록 점선은 피셔-콜모고로프 이론 2√(rD)에서 나온 직선이고, 토착민을 흡수하면 빨간 점선처럼 조금 더 가팔라집니다. 처음 100여 년은 전선이 자리를 잡느라 이론선보다 늦지만 기울기는 이론과 나란해집니다. 장벽이 있으면 선이 꺾이는 곳을 보세요.

③ 칸마다 도착 시각

점 하나가 지도의 칸 하나입니다. 가로는 기원지에서의 거리, 세로는 농부가 처음 닿은 시각이에요. 점들이 이론의 직선을 따라 늘어서면 일정한 속도로 퍼졌다는 뜻이고, 직선 위로 솟은 곳은 장벽 때문에 늦어진 곳입니다.

④ 성장률을 바꾸면 속도는

지금의 흩어지는 정도와 섞이는 비율에서 성장률만 바꿔 가며 쟀습니다(한 줄로 펼친 평면 파동). 이론 곡선과 측정점이 거의 겹치면, 속도가 두 숫자로 정해진다는 말이 맞는다는 뜻입니다.

이 결과가 말하는 것, 말하지 않는 것

말하는 것:

한 해에 1킬로미터쯤의 느린 걸음도 천 년을 이어 가면 지도 전체를 덮고, 산이나 해협을 만나면 그만큼 늦어져요. 이 모델에서 평지는 975년, 해협은 1,095년, 산맥은 1,130년이 걸렸어요.
농부가 자기 땅에서 늘고 이웃 칸으로 조금씩 흩어지는 두 가지만으로도, 앞쪽 끝이 일정한 속도로 밀려가요. 산맥 안에서는 속도가 평지의 약 3분의 1로 줄었지만 멈추진 않았어요.
그렇다면 퍼지는 속도는 무엇을 보면 될까? 늘어나는 속도와 흩어지는 정도가 거의 다 정했어요. 섞임을 0→100%로 올려도 연 0.97→1.19km였고, 산맥 안에선 3분의 1로 줄었어요.

상세 설명

말하는 것: 기본값(연 2.5% 성장, 흩어지는 정도 10km²/년, 섞이는 비율 50%, 장벽 없음, 땅 번호 1)에서 잰 전선 속도는 1.03km/년이고, 흡수가 없을 때의 이론 2√(rD)는 1.00km/년, 흡수를 반영한 이론은 1.12km/년입니다. 한 세대(25년)로 치면 약 26km이고, 땅의 99%가 덮이는 데 975년이 걸렸습니다. 장벽이 있으면 같은 설정에서 해협은 1,095년, 산맥은 1,130년으로 늦어졌습니다. 해협에서는 전선이 땅다리 쪽으로 휘어 들어가 건너편에서 부채꼴로 다시 퍼졌고, 산맥 안에서는 속도가 평지의 약 3분의 1(0.29 대 0.89km/년, 이론은 0.35배)로 줄었지만 멈추지는 않았습니다. 성장률을 바꿔 한 줄 파동으로 잰 속도는 이론의 94~100%였고, 섞이는 비율을 0%에서 100%로 올리면 속도가 0.97에서 1.19km/년으로 빨라져 흡수를 반영한 이론(1.00에서 1.22)과 4% 안에서 맞았습니다. 같은 설정에서 농부 가운데 토착 수렵채집민 후손의 몫은 섞이는 비율 50%일 때 87%, 100%일 때 95%였습니다. 속도는 거의 같은데 누구의 후손이 퍼졌는지는 크게 달랐습니다.

말하지 않는 것:

퍼진 것이 사람의 이주인지 기술과 생각의 전파인지는 이 모델이 가려 주지 않아요. 지금도 논쟁 중이라 고고학·유전자 증거로 따로 확인해야 해요.
실제 유럽의 농경 전파를 재현한 것이 아니에요. 지도와 수치는 추상적으로 정한 값이고, 토착민 후손의 몫도 실제 혈통에 대한 주장이 아니에요.

상세 설명

말하지 않는 것: 실제 유럽의 농경 전파를 재현한 것이 아닙니다. 고고학자들은 농경이 유럽에서 평균 연 1km 안팎의 속도로 퍼졌다고 추정했고, 이런 '전진하는 파동' 생각은 Ammerman과 Cavalli-Sforza(1971)가 농경 전파에 적용해 널리 알려졌지만, 추정값은 연구마다 다르며 퍼진 것이 사람(이주)인지 기술과 생각(문화 전파)인지는 지금도 논쟁 중입니다. 이 모델은 지도가 추상적이고 땅이 거의 균일하며, 바닷길 이동, 강과 해안의 길, 기후 변화, 마을 단위의 갑작스러운 도약 같은 현실의 요소가 없습니다. 섞이는 비율이나 토착민 후손의 몫(87%, 95%)도 이 프로젝트가 정한 값에 크게 의존하므로 실제 유럽 사람들의 혈통에 대한 주장으로 읽으면 안 됩니다. 이 실험은 '늘어나고 흩어지는 두 규칙만으로도 일정한 속도의 파동이 만들어질 수 있다'는 메커니즘을 보여 줄 뿐입니다.

이론적 근거와 구현 메모

모델의 뿌리: Fisher (1937), "The wave of advance of advantageous genes", Annals of Eugenics 7은 유리한 유전자가 공간에서 일정한 속도의 파동으로 퍼진다는 방정식을 다뤘고, 같은 해 Kolmogorov, Petrovsky, Piskunov도 독립적으로 같은 방정식을 연구해 피셔-콜모고로프(Fisher-KPP) 방정식이라 부릅니다. Ammerman & Cavalli-Sforza (1971), Man 6이 이를 유럽의 농경 전파에 적용했습니다.
핵심 가정과 수식: 농부 밀도 F(땅이 감당하는 최대치 = 1)는 ∂F/∂t = rF(1 − F) + D∇²F를 따릅니다. 앞쪽 끝에서는 F가 작아 선형으로 늘기 때문에 전선은 c = 2√(rD)의 속도로 나아갑니다(r 증가율, D 확산 계수). 이 모델은 수렵채집민을 흡수하면 앞쪽의 증가율이 r + mix·κ·h₀로 커진다고 보아 c = 2√((r + mix·κ·h₀)D)를 함께 비교합니다(κ = 0.05/년, h₀ = 0.25는 이 프로젝트가 정한 값).
이 프로젝트의 단순화: 지도는 추상적이고 땅은 거의 균일하며, 수렵채집민은 움직이지 않고 밀도가 0.25로 일정하다고 봅니다. 한 세대 = 25년과 위의 κ, h₀, 산맥(성장 0.5배, 확산 0.25배)은 이 프로젝트의 가정입니다. 농경이 사람의 이동으로 퍼졌는지 생각과 기술의 전파로 퍼졌는지는 지금도 논쟁 중이고, 이 모델은 '섞이는 비율' 하나로 둘 사이를 오가게 했을 뿐 어느 쪽이 맞는지 가리지 않습니다.
이론값과 시뮬레이션: 흡수가 없을 때 한 줄 파동으로 잰 속도는 이론 2√(rD)의 94~100%였습니다(예: r=2.5%, D=10에서 0.97 대 1.00km/년). 섞이는 비율을 0, 25, 50, 75, 100%로 올리면 잰 값이 0.97, 1.03, 1.08, 1.14, 1.19km/년으로 흡수를 반영한 이론 1.00, 1.06, 1.12, 1.17, 1.22와 4% 안에서 맞았습니다. 둥근 전선이 있는 2차원에서는 휘어짐 때문에 장벽·잡음이 없을 때도 0.93으로 조금 느렸고, 산맥 안의 속도비는 0.32로 이론 0.35와 비슷했습니다. 모두 node tools/validate-farming.js의 출력입니다.
더 읽을거리: Ammerman & Cavalli-Sforza (1971), "Measuring the rate of spread of early farming in Europe", Man 6. Fisher (1937), 위의 논문. J. D. Murray, 『Mathematical Biology』, Springer (퍼지는 파동 방정식의 개설).
지도는 100×60칸(칸 하나 10km)이고 시간은 0.5년 간격의 명시적 차분으로 나아갑니다. 확산은 칸 사이의 조화 평균 계수로 계산해 바다 칸으로는 흐르지 않고, 지도 가장자리는 막혀 있습니다. 칸마다 기름짐은 성긴 값 잡음을 이어 만들며(시드 난수 mulberry32, 같은 땅 번호면 같은 결과) 성장률에만 곱합니다.
전선 속도는 농부 밀도 0.5를 처음 넘은 시각을 칸의 도착 시각으로 삼고, 기원지에서 가장 먼 도착 지점의 거리 R(t)를 100~380km 구간에서 최소제곱으로 맞춘 기울기입니다. ④번 그래프는 같은 규칙을 250칸짜리 한 줄에서 돌려 도착 시각과 거리의 기울기로 구한 값입니다. 검증은 node tools/validate-farming.js로 할 수 있습니다.