해바라기 씨는 왜 하필 그 각도로 놓일까
해바라기 씨앗은 왜 하필 약 137.5도씩 돌아가며 자랄까요? 씨앗을 한 알씩 놓을 때 돌리는 각도를 바꿔 가며, 어떤 각도가 빈틈없이 고르게 채우는지 확인해 봅니다.
모델은 이렇게 움직입니다
- k번째 씨앗은 중심에서 √k만큼 떨어지고, 앞 씨앗보다 정해진 각도만큼 더 돌아간 자리에 놓입니다. 이 배열을 Vogel의 나선이라고 부르며, 식물의 잎과 씨앗이 놓이는 방식(잎차례, phyllotaxis)을 설명하는 대표적인 모델입니다.
- 각도가 360°의 간단한 분수(90°는 1/4, 120°는 1/3, 144°는 2/5)에 가까우면 씨앗이 같은 방향으로 겹쳐 쌓여서 바큇살 모양과 큰 빈틈이 생깁니다.
- 황금각(약 137.508°)은 360°를 황금비(자연에서 자주 보이는 약 1:1.618의 비율)로 나눈 각도로, 간단한 분수에서 가장 멀리 떨어진 각도로 알려져 있습니다.
- 채움 품질은 원판 위의 여러 점에서 가장 가까운 씨앗까지 거리를 재서, 평균(빈틈 평균)과 최댓값(가장 큰 빈틈)을 이상 간격으로 나눈 값입니다. 작을수록 고르게 채워진 것입니다. "색 보기"에서 번호를 34 같은 수로 나눈 나머지로 칠하면 나선 팔을 볼 수 있어요.
직접 돌려보기
① 해바라기가 자라는 모습
씨앗이 한 알씩 더해집니다. 각도를 바꾸면 무늬가 어떻게 달라지는지 보세요. 황금각 근처에서는 빈틈이 거의 없고, 120°나 144° 같은 각도에서는 바큇살이 생겨요.
② 3D로 보기: 볼록한 꽃판과 솔방울 3D
위에서 고른 각도로 씨앗을 볼록한 꽃판 위에 올렸습니다. 돌려 보면 시계 방향과 반시계 방향의 나선이 겹쳐 보이고, 색 칠하기를 34나 55로 바꾸면 한 방향의 나선 팔이 한 색으로 묶입니다. 각도를 120°나 144°로 바꾸면 씨앗이 바큇살로 몰리고 그 사이로 짙은 꽃판이 드러납니다. 솔방울도 같은 규칙(비늘 하나마다 같은 각도만큼 돌기)으로 비늘을 쌓은 것이며, 이때는 나선이 8개, 13개로 보입니다.
드래그로 회전 · 휠(두 손가락)로 확대 · 꽃판은 위 그림과 함께 자랍니다
③ 각도마다 빈틈은 얼마나 될까
가로는 씨앗 사이의 각도, 세로는 빈틈 평균입니다(눈금 간격이 점점 넓어지는 로그 눈금). 숫자가 작을수록 고르게 채워진 것입니다. 대부분의 각도는 비슷하게 낮지만, 360°의 간단한 분수 근처에서는 뾰족하게 나빠집니다.
④ 특별한 각도 비교
지금 씨앗 수에서 몇 가지 각도의 빈틈 평균을 비교합니다. 낮을수록 고르게 채워진 것이고, 금색이 황금각입니다.
⑤ 이웃까지의 거리
지금 각도에서 씨앗마다 가장 가까운 이웃까지의 거리 분포입니다. 간격이 일정하면 한 곳에 뾰족하게 모이고, 겹치거나 듬성듬성하면 넓게 퍼집니다.
이 결과가 말하는 것, 말하지 않는 것
말하는 것:
- 씨앗을 돌려 놓는 각도가 황금각이면 빈틈 없이 고르게 차고, 90도나 120도 같은 간단한 분수 각도면 바큇살과 큰 빈틈이 생겨요. 이 모델에서 빈틈 평균이 0.38 대 2.4~5.0이었어요.
- 간단한 분수 각도는 씨앗이 같은 방향으로 겹쳐 쌓여요. 황금각은 그런 분수에서 가장 멀어서 어느 방향으로도 겹치지 않아요. 0.2도만 어긋나도 이웃과의 간격이 약 9배 들쭉날쭉해졌어요.
- 그렇다면 고르게 채우려면? 간단한 분수에서 먼 각도를 고르면 돼요. 빈틈만 보면 그런 각도가 많지만, 간격까지 고르려면 황금각에 아주 가까워야 했어요(0.2° 어긋나면 약 9배).
상세 설명
말하는 것: 씨앗 600개일 때 황금각(137.508°)의 빈틈 평균은 0.38로, 90°~180°를 0.1° 간격으로 훑은 각도 중 이보다 낮은 것은 0.3%뿐이었습니다. 90°, 120°, 144°, 180°처럼 간단한 분수에 가까운 각도는 2.4~5.0으로 6~13배 나쁩니다. 간격의 균일함(이웃 거리의 변동계수)도 황금각은 0.012인데, 0.2°만 어긋난 137.7°는 0.107로 약 9배 들쭉날쭉합니다. 황금각에서는 가까운 이웃의 번호 차이가 피보나치 수로 나옵니다(씨앗 1000개일 때 55와 34).
말하지 않는 것:
- 실제 해바라기가 이 계산으로 만들어진다는 증명은 아니에요. 실제 식물에서는 새 씨앗이 빈자리에 생기는 과정이 각도를 정한다는 설명이 있고, 이 모델은 씨앗의 위치만 계산해요.
- 황금각만 잘 채우는 것도 아니에요. 600개일 때 빈틈 평균이 0.5 미만인 각도가 전체의 73%였고, 황금각은 그중에서도 가장 낮은 편이었어요.
상세 설명
말하지 않는 것: 실제 해바라기가 이런 계산으로 만들어진다는 증명은 아닙니다. 이 모델은 "어떤 각도가 기하학적으로 고르게 채우는가"만 보며, 실제 식물에서는 새 씨앗이 기존 씨앗 사이의 가장 빈 자리에서 생기는 과정(호르몬과 억제 효과)으로 각도가 정해진다는 설명이 있습니다. 또 황금각만 잘 채우는 것은 아닙니다. 600개일 때 빈틈 평균이 0.5 미만인 각도가 전체의 73%였습니다. 황금각은 그중에서도 가장 낮은 편이고 가장 고른 편이라는 것이 측정 결과입니다.
이론적 근거와 구현 메모
- 모델의 뿌리: 식물의 잎·씨앗 배열(잎차례, phyllotaxis)을 설명하는 Vogel의 나선입니다. Vogel (1979, Mathematical Biosciences)은
r = c√k,θ = k × 137.5°로 해바라기 머리를 그릴 수 있음을 보였고, Douady, Couder (1992, Physical Review Letters)는 새 원기가 기존 것에서 가장 먼 빈자리에 생기는 과정이 황금각 배열로 이어짐을 실험과 모델로 보였습니다. - 핵심 가정과 수식: 황금각은
360°(1 − 1/φ) = 360°/φ2 ≈ 137.508°(φ = (1+√5)/2)입니다. 황금비는 연분수가 전부 1이라 유리수로 가장 근사하기 어려운 무리수여서(Hurwitz 정리), 어떤 방향으로도 씨앗이 겹쳐 쌓이지 않습니다. 슬라이더의 각도가θ이고 씨앗 수가k의 범위입니다. - 이 프로젝트의 단순화: 이 구현은 씨앗의 위치만 계산하는 기하학 모델이고, 새 씨앗이 생기는 호르몬·억제 과정은 다루지 않습니다. 채움 품질의 정의(반지름 85% 안 점들에서 가장 가까운 씨앗까지 거리)와 씨앗 크기는 이 프로젝트가 정한 값이고, 논문 수치의 재현이 아닙니다.
- 이론값과 시뮬레이션: 이론이 말하는 것은 "황금각이 고르다"는 것이고, 시뮬레이션에서 씨앗 1,000개의 빈틈 평균은 황금각 0.381, 137.7° 0.441, 144° 3.069, 90° 3.776, 180° 6.435였습니다. 이웃 거리의 변동계수도 황금각 0.011, 137° 0.117, 138° 0.157로, 0.5° 안팎만 어긋나도 한 자릿수 배 가까이 고르지 못했습니다. 다만 황금각만 잘 채우는 것은 아니고 가장 낮은 값을 다투는 각도가 가까이에 있습니다.
- 더 읽을거리: Vogel (1979), "A better way to construct the sunflower head", Mathematical Biosciences 44. Douady, Couder (1992), "Phyllotaxis as a physical self-organized growth process", Physical Review Letters 68. Prusinkiewicz, Lindenmayer (1990), 『The Algorithmic Beauty of Plants』, Springer.
- 채움 품질은 반지름의 85% 안쪽 원판에 이상 간격의 0.35배 간격으로 찍은 점에서 가장 가까운 씨앗까지의 거리로 계산합니다. 씨앗 k는 반지름 √(k+0.5)에 놓입니다.
- 씨앗 1,000개에서 황금각의 이웃 거리 변동계수는 0.011이고, 137°는 0.117, 138°는 0.157, 144°는 0.198로 모두 더 높았습니다. 검증은
node tools/validate-sunflower.js로 할 수 있습니다.