돌아온 비행기의 총탄 자국, 어디를 보강해야 할까
전투에서 돌아온 비행기를 살펴보니 날개와 동체에 총탄 자국이 가장 많았습니다. 그렇다면 가장 많이 맞는 곳에 철판을 덧대는 게 당연해 보입니다. 하지만 우리가 보는 것은 "돌아온 비행기"뿐입니다. 엔진을 맞은 비행기는 돌아오지 못했으니 엔진의 구멍은 우리 눈에 거의 보이지 않습니다. 구멍이 많은 곳과 구멍이 비어 있는 곳 중 어디를 보강해야 할까요?
모델은 이렇게 움직입니다
- 비행기 그림을 엔진·조종석·동체·날개·꼬리 다섯 부위로 나눕니다. 총탄은 비행기 위 무작위 한 점에 떨어지므로 넓은 부위(날개, 동체)가 더 많이 맞습니다. 출격 한 번에 평균 3발을 맞습니다.
- 부위마다 총탄 한 발이 비행기를 추락시킬 확률이 다릅니다. 엔진(슬라이더)과 조종석(40%)은 치명적이고, 동체·날개·꼬리는 5% 안팎으로 거의 버팁니다.
- 추락하지 않은 비행기만 돌아와 검사를 받습니다. 왼쪽 그림은 돌아온 비행기의 구멍만, 오른쪽 그림은 실제로 맞은 총탄 전부(붉은 점은 돌아오지 못한 비행기의 것)입니다.
- 방탄 장갑을 붙인 부위에 맞은 총탄은 70% 확률로 막힙니다. 장갑은 보강할 수 있는 곳 수(슬라이더)만큼만 붙일 수 있고, 같은 총탄과 같은 운으로 장갑 유무만 비교합니다.
- 이야기의 바탕은 2차 세계대전 때 컬럼비아 대학 통계연구그룹의 에이브러햄 월드(Abraham Wald)가 했다고 전해지는 작업입니다. 다만 널리 퍼진 이야기는 많이 단순화되어 있고, 이 모델은 그 이야기를 이해하기 위해 이 프로젝트가 만든 단순화된 모델이지 실제 보고서의 재현이 아닙니다.
직접 돌려보기
① 돌아온 비행기와 실제로 맞은 총탄
출격이 한 번씩 이어집니다. 왼쪽은 돌아온 비행기에서 보이는 구멍, 오른쪽은 실제로 맞은 총탄 전부입니다. 왼쪽에서 엔진과 조종석이 유난히 비어 있는 것을 보세요. 동그라미는 방금 출격한 비행기가 맞은 자리입니다(빨간 동그라미는 추락). 그림의 부위(또는 아래 버튼)를 눌러 장갑을 붙여 볼 수 있습니다.
② 맞은 총탄 중 눈에 보이는 비율
부위마다 실제로 맞은 총탄 중 돌아온 비행기에서 보이는 비율입니다. 치명적인 부위일수록 증거가 사라집니다.
③ 어디에 보강하면 살아 돌아올까
같은 총탄, 같은 운으로 장갑을 달리 붙였을 때 생존율입니다. "구멍 많은 곳"은 돌아온 비행기에서 구멍이 가장 많은 부위, "빈 곳"은 넓이에 비해 구멍이 가장 적은 부위입니다. "최선"은 모든 부위 조합을 이론값으로 비교한 결과입니다.
④ 엔진을 맞으면 더 잘 추락할수록
가로는 엔진 피격 시 추락 확률(엔진의 치명률), 세로는 생존율입니다. 선 세 개는 보강 없음, 구멍 많은 곳 보강, 빈 곳 보강입니다(출격 횟수와 보강 곳수는 지금 설정).
이 결과가 말하는 것, 말하지 않는 것
말하는 것:
- 구멍이 많은 곳을 보강하면 생존율이 조금 오르고(67.9→71.3%), 구멍이 비어 있는 곳을 보강하면 크게 올라요(83.3%).
- 맞은 총탄 중 돌아온 비행기에서 보이는 비율이 엔진은 33.8%, 조종석은 40.5%인데 동체·날개·꼬리는 약 65%였어요. 치명적인 곳은 맞으면 못 돌아와서 구멍이 안 보여요.
- 자료가 적으면 헷갈리고 많으면 분명해져요. 구멍이 적은 곳을 고르는 규칙은 출격 100회에선 85%, 500회부터는 매번 최선을 골랐어요.
- 그렇다면 어디를 보강할까? 이 모델에선 엔진 치명률을 0%에서 90%까지 바꿔도 구멍이 빈 곳이 이겼어요(90%에서 79.4% 대 60.6%). 1곳만 보강해도 78.3% 대 69.7%였어요.
상세 설명
말하는 것: 엔진 치명률 50%, 2,000회 출격, 2곳 보강이라는 기본 설정을 시드 200개로 평균하면, 장갑이 없을 때 생존율은 67.9%였습니다. 돌아온 비행기에서 구멍이 가장 많은 동체와 날개에 장갑을 붙이면 71.3%로 3.4%p 오르는 데 그쳤고, 구멍이 비어 있는 엔진과 조종석에 붙이면 83.3%로 15.4%p 올랐습니다(이론값은 각각 68.0%, 71.4%, 83.3%). 200번 모두 직관은 동체와 날개를, 월드식은 엔진과 조종석을 골랐습니다. 이유는 ②번 그래프에 있습니다. 맞은 총탄 중 돌아온 비행기에서 보이는 비율이 엔진은 33.8%, 조종석은 40.5%인 반면 동체·날개·꼬리는 64.5~65.8%였습니다. 치명적인 곳일수록 증거가 사라지므로 "구멍이 적다"는 것은 "덜 맞는다"가 아니라 "맞으면 못 돌아온다"로 읽어야 합니다. 이 결과는 출격 횟수와 엔진 치명률에 따라 달라집니다. 엔진 치명률을 0%에서 90%까지 올려도 빈 곳 보강이 이겼고(0%에서 빈 곳 90.5% 대 구멍 많은 곳 87.6%, 90%에서 79.4% 대 60.6%, 시드 100개 평균), 이는 조종석이 계속 치명적이기 때문입니다. 보강할 수 있는 곳이 1곳이면 빈 곳 78.3% 대 구멍 많은 곳 69.7%, 3곳이면 85.2% 대 72.7%였습니다. 출격이 100회뿐이면 월드식이 최선을 고른 경우는 85%(시드 200개)였고, 500회부터는 100%였습니다.
말하지 않는 것:
- 돌아온 비행기에서 구멍이 빈 곳을 보강하는 효과는 이 시뮬레이션이 직접 보여 준 쪽이에요. '성공한 사람들만 보고 배우는 상황도 마찬가지'라는 건 생각해 본 쪽이고, 이 페이지는 비행기 모델 하나만 돌렸어요.
- 월드의 실제 보고서 내용도, 많이 맞는 곳을 보강하는 게 늘 틀리다는 뜻도 아니에요. 부위별 치명률과 장갑 효과는 이 모델이 정한 값이에요.
- 실제에서는 부위별 치명률을 모르니, 돌아오지 못한 사례를 포함해 추정하는 방법과 자료가 더 필요해요.
상세 설명
말하지 않는 것: 이것이 월드의 실제 보고서 내용은 아닙니다. 널리 퍼진 이야기는 "구멍이 없는 곳을 보강하라"는 한 줄로 요약되지만, 월드의 연구는 돌아온 비행기만으로 부위별 피격 후 생존 확률을 수학적으로 추정하는 방법에 관한 것이었고, 구체적인 부위나 수치는 이야기마다 다르게 전해집니다. 여기서는 부위 넓이, 치명률, 장갑 효과(70%)를 모두 이 프로젝트가 임의로 정했고, 모델은 총탄이 한 점에 한 발씩 독립적으로 떨어진다고 단순하게 가정합니다. 실제 비행기에서는 총탄이 여러 부위를 지나가고 기종, 임무, 적의 무기에 따라 달라집니다. 이 모델은 치명률을 이미 알고 있지만 현실에서는 모르기 때문에 월드식 선택은 "구멍이 적은 곳"을 고르는 간단한 규칙으로 흉내 낸 것이고, 출격이 적으면 틀릴 수 있습니다. 또한 "많이 맞는 곳을 보강하라"가 늘 틀리다는 뜻도 아닙니다. 모든 총탄이 같은 확률로 치명적이라면 돌아온 비행기의 구멍도 실제 피격과 비슷하게 보입니다. 이 현상은 비행기뿐 아니라 "성공한 사람들만 보고 배우는" 모든 상황에 해당할 수 있지만, 이 페이지는 비행기 모델 하나만 돌려 본 것입니다.
이론적 근거와 구현 메모
- 모델의 뿌리: 2차 세계대전 때 컬럼비아 대학 통계연구그룹의 Abraham Wald가 한 항공기 생존성 연구에 얽힌 이야기로, 생존자 편향의 고전 사례로 자주 인용됩니다. Wald의 연구는 돌아온 비행기의 피해만으로 부위별 "맞았을 때 생존할 확률"을 추정하는 통계 방법이었고(Mangel과 Samaniego, 1984가 해설), "구멍 없는 곳을 보강하라"는 한 줄 요약은 널리 퍼지면서 단순해진 것입니다.
- 핵심 가정과 수식: 총탄 수는 평균 3인 푸아송 분포이고, 각 탄은 부위 s의 면적 비율 as로 떨어져 치명률 ls로 비행기를 추락시킵니다. 장갑은 총탄을 70% 막으므로 치명률에 0.3을 곱합니다. 푸아송 분포에서 추락하는 탄만 솎아 내면 출격당 생존 확률은
exp(−3 Σ as·ls·ms)(장갑이면 m = 0.3, 아니면 1)입니다. 치명적인 부위일수록 돌아온 비행기에서 구멍이 덜 보입니다. 슬라이더는 엔진 치명률, 보강 곳수, 출격 횟수입니다. - 이 프로젝트의 단순화: 부위 면적, 치명률(조종석 40%, 동체 5%, 날개 3%, 꼬리 5%), 장갑 효과 70%는 모두 이 프로젝트가 정한 값이며 Wald의 보고서 수치가 아닙니다. 총탄은 한 점에 독립적으로 떨어진다고 보았고, "월드식 선택"은 구멍 ÷ 넓이가 가장 작은 부위를 고르는 단순 규칙으로 흉내 낸 것이지 Wald의 추정 방법이 아닙니다.
- 이론값과 시뮬레이션: 엔진 치명률 50%, 2곳 보강에서 생존율 이론값은 무장갑 68.0%, 구멍 많은 곳(동체+날개) 71.4%, 엔진+조종석 83.3%이고, 시드 100개 평균 시뮬레이션은 68.0%, 71.4%, 83.4%였습니다. 출격 500회 이상에서는 모든 시드에서 월드식이 최선(엔진+조종석)을 골랐고 직관식은 한 번도 고르지 못했으며, 출격 100회에서는 월드식이 85%였습니다.
- 더 읽을거리: Mangel & Samaniego (1984), Abraham Wald's work on aircraft survivability, Journal of the American Statistical Association / Wald, A., A method of estimating plane vulnerability based on damage of survivors (Statistical Research Group 보고서, 1980년 Center for Naval Analyses 재간행) / Ellenberg (2014), How Not to Be Wrong, Penguin.
- 비행기 그림은 직접 정의한 도형(엔진 2개, 조종석, 동체, 날개 2개, 꼬리)이고, 부위 넓이 비율은 그림에서 격자로 계산합니다(엔진 13.6%, 조종석 7.2%, 동체 23.2%, 날개 38.8%, 꼬리 17.3%). 총탄 수는 평균 3인 푸아송 분포이며 비행기 위 무작위 점에 떨어집니다. 부위별 치명률은 엔진(슬라이더), 조종석 40%, 동체 5%, 날개 3%, 꼬리 5%입니다.
- 출격당 생존 확률의 이론값은 exp(−3 × Σ 넓이비율 × 치명률 × (장갑이면 0.3))입니다. 시뮬레이션과 이론값은 시드 200개 평균에서 0.1%p 안으로 맞습니다. "구멍 많은 곳"은 돌아온 비행기의 구멍 수가 가장 많은 부위, "빈 곳"은 구멍 수 ÷ 넓이가 가장 작은 부위입니다. ④번 그래프는 엔진 치명률마다 시드 3개의 평균입니다.
- 검증은
node tools/validate-survivor.js로 할 수 있습니다.