금리가 오르면 내 채권값은 왜 떨어질까: 10년 국채 금리

금리가 오르면 새로 나오는 채권은 이자를 더 주니 좋은 일 같습니다. 그런데 이미 사 둔 채권은 값이 떨어집니다. 이 예시 설정에서는 10년 금리가 1%p 오르면 10년 만기 채권값이 약 8% 내려가요. 더 묘한 것은 10년 금리를 정하는 힘입니다. 오늘의 단기금리가 아니라 "앞으로 10년 동안 단기금리가 평균 어디쯤 있을까"라는 기대가 정하기 때문에, 단기금리가 1%p 뛰어도 10년 금리는 0.3%p 남짓만 움직입니다. (모든 숫자는 예시이며, 실제 금리를 말하는 것이 아닙니다.)

모델은 이렇게 움직입니다

단기금리는 매달 장기 평균 쪽으로 끌려가면서(회귀 속도만큼) 변동성만큼 무작위로 흔들립니다. 높아졌으면 내려오려 하고 낮아졌으면 올라가려 하는 성질을 평균회귀라고 해요. 슬라이더로 시작 금리, 장기 평균, 회귀 속도, 변동성을 바꿉니다.
10년 금리는 "앞으로 10년간 단기금리가 평균 어디에 있을지의 예상"에 기간 프리미엄(오래 묶이는 대가로 더 얹는 금리)을 더해 정합니다. 이것을 기대가설이라고 부르고, 이 모델은 평균회귀 모델의 닫힌 해로 계산합니다. 한 경로가 정해지면 매달 10년 금리도 따라서 정해져요.
채권은 10년 만기, 1년에 한 번 이자를 주고, 시작 때의 10년 금리와 같은 이자율로 액면 100에 삽니다. 이후 금리가 오르면 새 채권이 더 높은 이자를 주기 때문에, 내 옛 채권은 값이 깎여야 팔립니다. 가격 변화만 보고 받은 이자는 계산하지 않아요.
듀레이션은 원금과 이자를 받는 시점을 가중평균한 기간으로, 금리가 1%p 움직일 때 가격이 약 몇 % 움직이는지의 어림값이 됩니다(약 8이면 약 8%). 실제 가격은 직선이 아니라 휘어진 곡선이라 같은 1%p라도 내릴 때 이득이 오를 때 손해보다 큰데, 이 휘어짐을 볼록성이라고 합니다.

직접 돌려보기

시작 단기금리 처음 단기금리(예시 숫자). 장기 평균보다 낮으면 앞으로 올라갈 것으로 기대돼 10년 금리가 더 높아요

장기 평균 단기금리가 길게 보면 돌아가려는 수준(예시 숫자)

회귀 속도 클수록 빨리 장기 평균으로 돌아와요. 작으면 단기금리 충격이 오래 가서 10년 금리도 많이 움직여요

금리 흔들림(변동성) 1년 동안 단기금리가 무작위로 흔들리는 크기(%p). 부채꼴이 넓어져요

기간 프리미엄 오래 빌려주는 대가로 10년 금리에 얹는 금리(%p, 예시 숫자)

① 단기금리가 흘러가는 길

파란 선이 400개 경로의 평균 단기금리, 빨간 선이 그에 따른 평균 10년 금리입니다. 연한 선은 개별 경로 일부이고 옅은 띠는 90%와 50%의 경로가 들어오는 범위예요. 시작 금리가 장기 평균보다 낮으면 파란 선이 올라가는 모습이 보이는데, 10년 금리는 그 기대를 미리 반영해 처음부터 더 위에서 출발합니다.

언제든 눌러 보세요. 모든 경로의 단기금리가 한꺼번에 1%p 뛰고, 10년 금리가 얼마나 덜 움직이는지 볼 수 있어요.

② 10년 금리와 채권 가격

가로는 10년 금리, 세로는 10년 만기 채권의 가격입니다. 금리가 오르면 가격이 내려가는 휘어진 곡선이에요. 회색 직선은 듀레이션으로 어림한 값이고, 초록 틈이 볼록성입니다. 주황 점은 지금 평균 10년 금리의 자리입니다.

③ 채권값은 얼마나 달라졌을까

400개 경로 각각에서, 시작할 때 산 채권의 값이 지금(위 시간) 얼마로 바뀌었는지를 쌓았습니다(만기는 10년으로 일정하다고 보고 가격 변화만 봅니다). 빨강은 값이 떨어진 경로, 초록은 오른 경로예요. 금리 충격 버튼을 누르면 분포가 통째로 왼쪽으로 밀려요.

계산 중…

이 결과가 말하는 것, 말하지 않는 것

말하는 것:

단기금리가 갑자기 뛰어도 10년 금리는 훨씬 덜 오르고, 금리가 평균으로 느리게 돌아올수록 10년 금리도 더 따라 올라요.
10년 금리는 앞으로 10년의 평균 예상으로 정해져 오늘의 흔들림은 조금만 반영돼요. 1%p 뛰면 0.33%p였고, 돌아오는 속도가 느릴 땐 0.81%p, 빠를 땐 0.09%p였어요.
그래서 금리가 오르면 이미 가진 옛 채권 값은 깎이고 내리면 올라요. 이 예시에서 1%p 오르면 7.83% 내리고, 1%p 내리면 8.65% 올랐어요.
그렇다면 내 채권이 금리에 얼마나 흔들릴지는 뭘 보면 될까요? 이 모델에선 이자율이 높은 채권일수록 덜 흔들렸어요(가격 민감도: 이자율 2%면 8.98, 8%면 6.71). 투자 판단이 아닌 구조를 보는 눈이에요.

상세 설명

말하는 것: 시작 단기금리 2.5%, 장기 평균 3.5%, 회귀 속도 0.3, 변동성 1%p, 기간 프리미엄 0.5%p(모두 예시 숫자)에서 모델이 정한 10년 금리는 3.72%였습니다. 앞으로 10년 단기금리 예상 평균(3.18%)보다 높은 것은 기간 프리미엄 때문입니다. 이 금리로 산 10년 만기 채권의 수정 듀레이션은 8.22였고, 10년 금리가 1%p 오르면 가격은 7.83% 떨어지고 1%p 내리면 8.65% 올랐습니다(직선으로 어림하면 둘 다 8.22%). 단기금리가 1%p 뛰면 10년 금리는 0.33%p만 올랐습니다. 이 값은 회귀 속도에 크게 달렸습니다. 회귀 속도 0.05에서는 0.81%p, 0.3에서는 0.33%p, 1.2에서는 0.09%p였어요. 기간 프리미엄을 0, 0.5, 1.5%p로 두면 10년 금리는 3.20%, 3.72%, 4.76%였습니다. 이자율이 높은 채권일수록 듀레이션이 짧아서(이자율 2%일 때 8.98, 8%일 때 6.71) 금리에 덜 민감했습니다. 시작 때 산 채권의 가격 변화는 1년 뒤 평균 -0.7%, 하위 5% -4.5%, 상위 5% +3.2%로 퍼졌습니다(경로 2만 개, 이자 제외).

말하지 않는 것:

금리를 맞히는 모델이 아니고 투자 판단에 쓰면 안 돼요. 기본값은 모두 이 모델이 정한 예시 숫자예요.
물가·통화정책·채권 수요 같은 빠진 요소는 실제 금리 자료와 따로 대조해 봐야 해요.

상세 설명

말하지 않는 것: 이 모델로 금리나 환율을 맞힐 수 없고, 투자 판단에 써서는 안 됩니다. 기본값은 모두 이 프로젝트가 정한 예시 숫자이며 실제 금리 수준이나 전망이 아닙니다. 현실의 장기 금리에는 물가 기대, 통화정책, 채권의 수요와 공급, 경기 전망, 위험에 대한 태도처럼 이 모델에 없는 요소가 작용하고, 기간 프리미엄도 시간에 따라 바뀝니다. 이 모델은 단기금리의 흔들림이 10년 금리와 채권값에 어떤 구조로 전달되는지(기대의 평균, 듀레이션, 볼록성)를 보여 줄 뿐입니다.

이론적 근거와 구현 메모

모델의 뿌리: 단기금리가 평균으로 끌려가는 확률과정을 쓴 Oldřich Vasicek의 1977년 논문 「An equilibrium characterization of the term structure」(Journal of Financial Economics 5권)의 모델입니다. 장기 금리를 앞으로의 단기금리 경로에서 계산하는 틀이며, 기대가설의 아이디어(장기 금리는 앞으로 단기금리 예상의 평균)를 이어받았습니다. 채권 가격 민감도는 Macaulay(1938)의 듀레이션 개념을 씁니다.
핵심 가정과 수식: 단기금리 dr = a(b − r)dt + σdW에서 a는 회귀 속도, b는 장기 평균, σ는 변동성입니다. 만기 τ년 무이표채 가격은 exp(A − B·r), B = (1 − e^−aτ)/a, A = (b − σ²/2a²)(B − τ) − σ²B²/4a이고 수익률은 (B·r − A)/τ입니다. 이 페이지는 여기에 기간 프리미엄을 수익률에 더해 10년 금리로 삼습니다. 단기금리가 1 움직일 때 10년 금리는 약 B/10만큼 움직입니다.
이 프로젝트의 단순화: 원 논문은 위험의 시장가격을 두지만 여기서는 0으로 두고 기간 프리미엄을 수익률에 따로 상수로 더했습니다. 요인은 단기금리 하나뿐이고 금리가 음수가 될 수도 있습니다. 채권은 연 1회 이자를 주고 시간이 지나도 만기가 10년으로 일정하다고 보며, 연속복리 수익률을 연 복리로 바꿔 채권 가격에 씁니다. 시작 금리, 장기 평균, 회귀 속도, 변동성, 기간 프리미엄의 기본값은 모두 이 프로젝트가 정한 예시 숫자입니다.
이론값과 시뮬레이션: 경로 2만 개의 시뮬레이션 평균은 닫힌 해와 맞았습니다. 10년 무이표채 가격은 시뮬레이션 0.7290(표준오차 0.0004), 닫힌 해 0.7295이고, 수익률은 3.161%와 3.154%였습니다. 단기금리 평균과 표준편차도 5년 뒤 3.284%·1.260%p(이론 3.277%·1.258%p)로 맞았습니다. 수정 듀레이션 공식 8.2246은 수치 미분과 같았고, 충격을 준 시뮬레이션의 10년 금리 변화는 0.329%p로 식(0.329%p)과 같았습니다. 월 단위 사다리꼴 적분의 작은 편향이 시뮬레이션 값이 조금 낮은 이유입니다.
더 읽을거리: Vasicek (1977), "An equilibrium characterization of the term structure", Journal of Financial Economics / Macaulay (1938), Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856, NBER / Brigo & Mercurio, Interest Rate Models: Theory and Practice, Springer.
단기금리는 오른스타인-울렌벡 과정의 정확한 전이분포로 한 달씩 진행하므로 이산화 오차가 없습니다. 경로는 400개이고 시드 난수(mulberry32)를 쓰며 같은 번호면 같은 결과가 나옵니다. 띠는 경로의 5·25·75·95% 분위수입니다.
검증은 node tools/validate-treasury.js로 할 수 있습니다. 가격 변화 분포의 숫자(평균·분위수)는 같은 스크립트가 경로 2만 개로 계산한 값입니다.